Filetype PDF | Diposting 26 Aug 2022 | 3 thn lalu
Authentication
digital resources
263x Tipe PDF Ukuran file 0.45 MB Source: materi78.files.wordpress.com
materi78.co.nr MAT 3
Tranformasi Geometri
A. PENDAHULUAN B. JENIS-JENIS TRANSFORMASI GEOMETRI
Transformasi geometri adalah proses Jenis-jenis transformasi geometri terdiri dari
pemindahan atau pembentukan hasil atau translasi (pergeseran), transformasi bersesuaian
bayangan dari suatu titik atau kurva. matriks, refleksi (pencerminan), rotasi
(perputaran), dan dilatasi (perkalian).
Jenis Keterangan Persamaan Matriks Hasil Bayangan
Translasi (T)
pergeseran searah sumbu x sejauh a dan x x’ = a + x
(x') = (a)+( ) (a)
y
searah sumbu y sejauh b. y' b b y’ = b + x
Transformasi bersesuaian matriks (M)
transformasi oleh matriks berordo 2 x 2. x x’ = ax + by
x'
( ) = (a b)( ) (a b)
y
y'
c d c d y’ = cx + dy
Refleksi
a. Sumbu x x x’ = x
x'
( ) = (1 0)( )
y
y'
(y = 0) 0 -1 y’ = –y
(1 0)
b. Garis y = b x 0 -1 x’ = x
x'
1 0
( ) = ( )( )
y-b
y'-b
0 -1 y’ = 2b – y
c. Sumbu y x x’ = –x
(x') = (-1 0)( )
y
y'
(x = 0) 0 1 y’ = y
(-1 0)
d. Garis x = a 0 1 x’ = 2a – x
x-a
x'-a
( ) = (-1 0)( )
y
y'
0 1 y’ = y
e. Garis y = x x x’ = y
x'
0 1 0 1
( ) = ( )( ) ( )
y
y'
pencerminan dengan 1 0 1 0 y’ = x
f. Garis y = –x cermin berupa suatu x x’ = –y
(x') = (0 -1)( ) (0 -1)
sumbu, garis atau titik. y
y' -1 0 -1 0 y’ = –x
g. Titik O (0,0) x x’ = –x
x'
( ) = (-1 0)( )
y
y'
0 -1 y’ = –y
(-1 0)
h. Titik P (a,b) 0 -1 x’ = 2a – x
x-a
x'-a
-1 0
( ) = ( )( )
y-b
y'-b
0 -1 y’ = 2b – y
2
i. Garis y = mx x’ = x + 2my – m x
2
x 2
x' 1
1-m 2m 2 1+m
( ) = .( )( ) 1-m 2m
2 2 2
y
y' 1+m
2m -(1-m ) -y + 2mx + m y
2 2
1+m 1+m y’ = 2
1+m
2
2m -(1-m )
2
j. Garis x
x' 1 2 2
1-m 2m
( ) = .( )( ) (1+m 1+m ) …
2 2
y-n
y'-n 1+m
y = mx + n 2m -(1-m )
Rotasi (R)
a. Pusat O(0,0) perputaran terhadap x x’ = x.cosα – y.sinα
(x') = (cosα –sinα)( )
y
sejauh α suatu pusat dengan y'
sinα cosα y’ = x.sinα + y.cosα
b. Pusat P(a,b) sudut tertentu. (cosα –sinα)
sinα cosα
x-a
-α jika searah jarum jam, x'-a cosα –sinα
sejauh α ( ) = ( )( ) …
y-b
y'-b
+α jika berlawanan. sinα cosα
Dilatasi (D)
a. Pusat O(0,0), perkalian dari suatu x x’ = kx
x'
( ) = (k 0)( )
y
faktor skala k pusat dengan faktor y'
0 k y’ = ky
skala k.
b. Pusat P(a,b), (k 0)
k > 0 dilatasi searah, 0 k x’ = k(x – a) + a
faktor skala k x'-a x-a
( ) = (k 0)( )
y-b
k < 0 dilatasi y'-b
0 k y’ = k(y – b) + b
berlawanan arah.
GEOMETRI 1
materi78.co.nr MAT 3
C. BAYANGAN TITIK, KURVA DAN BANGUN Jawab:
DATAR Gunakan invers matriks,
x-(2)
Bayangan titik dapat ditentukan menggunakan 8 2 0
( ) = ( )( )
y-(-1)
persamaan-persamaan transformasi. -2 0 2
x-2 1 -2 0 8
Contoh 1: ( ) = ( )( )
y+1 2(2) - 0(0)
0 -2 -2
Tentukan bayangan titik B(2, -1) oleh transformasi: x-2
( ) = (4)
y+1
a. T(4,5) -1
x’ = 2 + 4 = 6 B’(6,4) x – 2 = 4 x = 6 Q(6, -2)
y’ = -1 + 5 = 4 y + 1 = -1 y = -2
Bayangan kurva dapat ditentukan dengan
2 0
b. Transformasi bersesuaian matriks ( )
-1 5 memasukkan nilai x’ dan y’ ke dalam persamaan
x’ = (2).2 + (0).(-1) = 4 B’(4, -7) kurva y = f(x) sehingga menjadi y’ = f(x’).
y’ = (-1).2 + (5).(-1) = -7 Translasi
c. Refleksi terhadap sumbu x
x
x’ = 2 B’(2, 1) x' a
( ) = ( )+( )
y
y' b
y’ = -(-1) = 1
d. Refleksi terhadap sumbu y
x
x' a
( ) = ( ) – ( )
x’ = -2 B’(-2, -1) y
y' b
y’ = -1
e. Refleksi terhadap titik P (4,5) Transformasi geometri selain translasi
x
x'
x' = 2(4) – 2 = 6 B’(6, 11) ( ) = (a b)( )
y
y'
y’ = 2(5) –(–1) = 11 c d
f. Refleksi terhadap garis y = 3x
x x'
1 d -b
2 ( ) = ( )( )
x' 1
1-(3) 2.3 2
y
( ) = .( )( ) ad-bc -c a y'
2
2
y'
1+(3) -1
2.3 -(1-(3) )
x' 1 Persamaan bayangan kurva tidak perlu diberi
-8 6 2
( ) = .( )( )
y' 10
6 8 -1 tanda aksen pada x dan y nya.
(-8).2 + 6.(-1) Contoh 1:
x’ = = -2,2 B’(-2,2, 0,4)
10 2
Tentukan y = f(x’) dari parabola y = x – 2x + 3 oleh
(6).2 + 8.(-1)
y’ = = 0,4 refleksi terhadap garis x = 2!
10
g. Refleksi terhadap garis y = 3x + 1 Jawab:
2
1
x' 1-(3) 2.3
( ) = .( )( 2 ) x’ = 2(2) – x, sehingga x = 4 – x’
2 2
y'-1
-1-1
1+(3)
2.3 -(1-(3) ) y’ = y, sehingga y = y’
1
x' -8 6 2 2
( ) = .( )( ) (y’) = (4 – x’) – 2(4 – x’) + 3
y'-1
10 6 8 -2 2
y’ = 16 – 8x’ + x’ – 8 + 2x’ + 3 (hilangkan aksen)
(-8).2 + 6.(-2)
x’ = = -2,8 2
10 y = x – 6x + 11
(6).2 + 8.(-2) Contoh 2:
y’ – 1 = = -0,4 + 1 = 0,6
10 Tentukan bayangan dari garis 2x + 4y – 3 = 0 oleh
B’(-2,8, 0,6)
transformasi yang bersesuaian dengan (1 -4)!
Contoh 2: -1 6
Tentukan bayangan titik C(2, -4) yang diputar 30o Jawab:
x 1 1
x' x'
searah jarum terhadap titik O. 6 4 6 4
( ) = .( )( ) = .( )( )
y
y' y'
Jawab: (1)(6) - (-4)(-1) 1 1 2 1 1
x = 3x’ + 2y’
1 1
x’ = 2.cos(-30) – (-4).sin(-30) = 2. / 3 – 4. / = 3 – 2
√ √
2 2 1 1
y = / x’ + / y’
1 1 2 2
y’ = 2.sin(-30) + (-4).cos(-30) = –2. / – 4. / 3 = –1 – 2 3
√ √
2 2 1 1
2(3x’ + 2y’) + 4( / x’ + / y’) – 3 = 0
C’( 3 – 2, –1 – 2 3) 2 2
√ √ 6x’ + 4y’ + 2x’ + 2y’ – 3 = 0 (hilangkan aksen)
Contoh 3: 8x + 6y – 3 = 0
Tentukan titik Q jika Q’(8, -2) terjadi karena dilatasi
pusat R(2,-1) dan faktor skala 2.
GEOMETRI 2
materi78.co.nr MAT 3
Contoh 3: 2) Transformasi (M ∘ M )
2 1
2 2
Tentukan bayangan persamaan 4x + 4y – 3 = 0 oleh Matriks bersesuaian untuk komposisi
dilatasi dengan pusat X(1,2) dan faktor skala 2! transformasi bersesuaian matriks 1 dilanjut-
Jawab: kan transformasi bersesuaian matriks 2:
x’ = 2(x – 1) + 1 y’ = 2(y – 2) + 2
p q
M ∘ M = ( )(a b)
2 1
x’ = 2x – 2 + 1 y’ = 2y – 4 + 2 r s
c d
x'+1 y'+2
x = y = 3) Refleksi (Rf ∘ Rf )
2 1
2 2
Komposisi refleksi Hasil bayangan
x'+1 2 y'+2 2
4( ) + 4( ) – 3 = 0
2 2 Terhadap garis x = a
2 2 x’ = 2(b – a) + x
x’ + 2x’ + 1 + y’ + 4y’ + 4 – 3 = 0 (hilangkan aksen) dilanjutkan
2 2 y’ = y
x + y + 2x + 4y + 2 = 0 garis x = b
Bayangan bangun datar dapat ditentukan Terhadap garis y = a
dengan mentransformasikan titik-titiknya dilanjutkan x’ = x
menjadi bayangannya, sehingga terbentuk y’ = 2(b – a) + y
bangun bayangan. garis y = b
Luas bangun datar bayangan berubah jika Terhadap garis yang rotasi pada
mengalami dilatasi dan transformasi bersesuaian tegak lurus perpotongan garis
matriks, namun tetap sebangun. sejauh 180o
Luas bangun datar bayangan dapat ditentukan: Terhadap garis yang rotasi pada
Dilatasi berpotongan perpotongan garis
(m = tanα, m = tanβ) sejauh 2(β – α)
1 2
2 k = faktor skala
L’ = k + L
4) Rotasi (R ∘ R )
2 1
Transformasi bersesuaian matriks Rotasi 1 pada pusat P sejauh α dilanjutkan
|M| = determinan matriks rotasi 2 pada pusat P sejauh β adalah rotasi
L’ = |M|. L bersesuaian dengan pusat P sejauh (α + β).
D. KOMPOSISI TRANSFORMASI GEOMETRI Contoh:
Komposisi transformasi (o) adalah kejadian Tentukan bayangan garis 10x – 5y + 3 = 0 oleh
1 0
dimana suatu titik atau kurva P mengalami transformasi yang bersesuaian dengan ( )
-2 1
1 2
transformasi A sehingga menghasilkan P’, dan dilanjutkan ( )!
dilanjutkan oleh transformasi B sehingga -2 1
menghasilkan P”. Jawab:
1 2 1 0 -3 2
M o M = ( )( ) = ( )
2 1
A B -2 1 -2 1 -4 1
P P’ P” x 1
x'
( ) = .(-3 2)( )
y
y'
(-3)(1) - (2)(-4) -4 1
1
x = (-3x’ + 2y’)
B ∘ A 5
y = 1(-4x’ + y’)
Penulisan komposisi transformasi:
5
B∘A, dibaca transformasi A dilanjutkan 1 1
10.( (-3x’ + 2y’)) – 5.( (-4x’ + y’)) + 3 = 0
transformasi B. 5 5
Bayangan akhir dicari dengan mentrans- 2(-3x’ + 2y’) –(–4x’ + y’) + 3 = 0
formasikan titik atau kurva secara bertahap, atau -6x’ + 4y’ + 4x’ – y’ + 3 = 0 (hilangkan aksen)
dengan komposisi transformasi istimewa. 3y – 2x + 3 = 0
Komposisi transformasi istimewa:
1) Translasi (T ∘ T )
2 1
Matriks bersesuaian untuk komposisi
translasi 1 dilanjutkan translasi 2:
T ∘ T = (c)+(a) = (c+a)
2 1
d b d+b
GEOMETRI 3
no reviews yet
Please Login to review.
