jagomart
digital resources
picture1_A48839fb6b53e634f6d063fd99340380 Mit18 01sc Pset3sol


 153x       Filetype PDF       File size 0.38 MB       Source: ocw.mit.edu


File: A48839fb6b53e634f6d063fd99340380 Mit18 01sc Pset3sol
solutions to 18 01 exercises unit 3 integration 3a dierentials indenite integration 3a 1 a 7x6dx d sin 1 0 because sin 1 is a constant 1 2dx b 1 ...

icon picture PDF Filetype PDF | Posted on 26 Jan 2023 | 2 years ago
Partial capture of text on file.
                                                 SOLUTIONS TO 18.01 EXERCISES 
                                                          Unit 3.  Integration 
                                              3A. Differentials, indefinite integration 
                              3A-1  a) 7x6dx. (d(sin 1) = 0 because sin 1 is a constant.) 
                                             −1/2dx 
                                   b) (1/2)x
                                           9 
                                   c) (10x − 8)dx 
                                          3x        3x 
                                   d) (3e   sin x + e  cos x)dx 
                                           √            √
                                    e) (1/2 x)dx + (1/2 y)dy = 0 implies 
                                                    √          √y             √        �         � 
                                                1/2 xdx                   1 −   x             1 
                                         dy = −      √ = −√ dx = − √              dx = 1 − √       dx 
                                                  1/2 y          x            x                x 
                              3A-2  a) (2/5)x5 + x3 + x2/2+8x + c 
                                             3/2 +2x1/2 + c 
                                   b) (2/3)x
                                   c) Method 1 (slow way)  Substitute:  u = 8+9x,  du = 9dx. Therefore 
                                �  √             �   1/2                       3/2                     3/2 
                                     8+9xdx =       u   (1/9)du = (1/9)(2/3)u     + c = (2/27)(8 + 9x)    + c 
                                Method 2 (guess and check): It’s often faster to guess the form of the antideriv/
                              ative and work out the constant factor afterwards: 
                                                3/2    d          3/2                   1/2   27         1/2 
                                 Guess (8+9x)      ;      (8 + 9x)   = (3/2)(9)(8 + 9x)     =    (8 + 9x)   . 
                                                       dx                                      2 
                              So multiply the guess by  2  to make the derivative come out right; the answer is 
                              then                      27 
                                                               2         3/2 
                                                                 (8 + 9x)    + c 
                                                              27 
                                COPYRIGHT  DAVID  JERISON  AND  MIT  1996,  2003 
                                                                       1 
                                  E. Solutions to 18.01 Exercises                                                3.  Integration 
                                                                                                            4               3
                                         d) Method 1 (slow way) Use the substitution: u = 1 − 12x , du = −48x dx. 
                                  �    3        4 1/8       �    1/8                   1         9/8          1          4 9/8
                                     x (1−12x )       dx =     u    (−1/48)du = −  (8/9)u  +c = −  (1−12x )                   +c 
                                                                                      48                     54 
                                     Method 2 (guess and check):  guess  (1 − 12x4)9/8; 
                                              d           4 9/8     9       3           4 1/8                   4 1/8 
                                                (1 − 12x )      = (−48x )(1 − 12x )            = −54(1 − 12x )       . 
                                             dx                     8 
                                  So multiply the guess by − 1  to make the derivative come out right, getting the 
                                  previous answer.                54 
                                                                                                       2 
                                         e) Method 1 (slow way): Use substitution: u = 8 − 2x , du = −4xdx. 
                                       �  √ x               �    1/2                 12  3/2            1         2 3/2 
                                                      dx =     u    (−1/4)du = −         u    + c = −  (8 − 2x )        + c 
                                             8 − 2x2                                 43                 6
                                     Method 2 (guess and check):  guess (8 − 2x2)3/2; differentiating it: 
                                                 d          2 3/2     3      2          2 1/2               2 1/2
                                                    (8 − 2x )     = (−4x )(8 − 2x )           = −6(8 − 2x )       ;
                                                 dx                   2 
                                                                 1 
                                  so multiply the guess by −  to make the derivative come out right. 
                                                                 6 
                                     The next four questions you should try to do (by Method 2) in your head. Write 
                                  down the correct form of the solution and correct the factor in front. 
                                         f) (1/7)e7x + c 
                                                    5 
                                         g) (7/5)ex  + c 
                                               √
                                         h) 2e x + c 
                                         i) (1/3)ln(3x +2)+ c. For comparison, let’s see how much slower substitution 
                                  is: 
                                                                 u = 3x +2,  du = 3dx,          so 
                                              �    dx     = �  (1/3)du = (1/3)ln u + c = (1/3)ln(3x + 2) + c 
                                                 3x +2             u 
                                         j)             �               �  �        � 
                                                           x +5                   5 
                                                             x dx =          1+ x  dx = x + 5ln x + c 
                                                                                 2 
                              3.  Integration                                    E. Solutions to 18.01 Exercises 
                                   k)       �             �  �          � 
                                                 x  dx =      1 −    5    dx = x − 5ln(x + 5) + c 
                                               x +5                x +5 
                              In Unit 5 this sort of algebraic trick will be explained in detail as part of a general 
                              method.  What underlies the algebra in both (j) and (k) is the algorithm of long 
                              division for polynomials. 
                                   l) u = ln x, du = dx/x, so 
                                             �  ln x     �                2                 2 
                                                 x  dx =    udu = (1/2)u  + c = (1/2)(ln x) + c 
                                   m) u = ln x, du = dx/x. 
                                                  �   dx  = �  du = ln u + c = ln(ln x)+ c 
                                                     x ln x      u 
                              3A-3  a) −(1/5)cos(5x)+ c 
                                               2                                                           2 
                                   b) (1/2)sin x + c, coming from the substitution u = sin x or −(1/2)cos x + 
                                                                                                         2 x  and 
                              c,  coming  from  the  substitution  u  =  cos x.  The  two  functions  (1/2)sin
                                        2 
                              −(1/2)cos x are not the same.  Nevertheless the two answers given are the same. 
                              Why? (See 1J­1(m).) 
                                                 3 
                                   c) −(1/3)cos x + c 
                                                    −2                 2 
                                   d) −(1/2)(sin x)    + c = −(1/2)csc x + c 
                                   e) 5 tan(x/5) + c 
                                               7 
                                   f) (1/7)tan x + c. 
                                   g) u = sec x, du = sec x tan xdx, 
                                          �     9          �        8                        9 
                                             sec  x tan xdx  (sec x) sec x tan xdx = (1/9)sec x + c 
                                                         3B. Definite Integrals 
                              3B-1  a) 1+4+9+16=30                    b) 2+4+8+16+32+64=126 
                                      c) −1+4 − 9 + 16 − 25 = −15  3  d) 1+1/2+1/3+1/4 = 25/12 
                            E. Solutions to 18.01 Exercises                                   3.  Integration 
                                       6                        n             n
                                      �      n+1               �  2          � 
                            3B-2  a)     (−1)    (2n +1)    b)    1/k     c)     sin(kx/n) 
                                     n=1                       k=1           k=1 
                                                                        3       3       3       3
                            3B-3 a) upper sum = right sum = (1/4)[(1/4) +(2/4) +(3/4) +(4/4) ] = 15/128 
                                                             3       3        3       3
                               lower sum = left sum = (1/4)[0 + (1/4) + (2/4) + (3/4) ] = 7/128 
                                                   2   2    2   2                      2    2   2   2 
                                  b) left sum = (−1) +0 +1 +2 = 6;        right sum = 0 +1 +2 +3 = 14; 
                                                2    2    2   2                         2   2    2   2 
                               upper sum = (−1) +1 +2 +3 = 15;            lower sum = 0 +0 +1 +2 = 5. 
                            0;    c) left sum = (π/2)[sin0+sin(π/2)+sin(π)+sin(3π/2)] = (π/2)[0+1+0−1] = 
                               right sum = (π/2)[sin(π/2)+sin(π)+sin(3π/2)+sin(2π)] = (π/2)[1+0−1+0] = 0; 
                               upper sum = (π/2)[sin(π/2)+sin(π/2)+sin(π)+sin(2π)] = (π/2)[1+1+0+0] = π; 
                               lower sum = (π/2)[sin(0)+sin(π)+sin(3π/2)+sin(3π/2)] = (π/2)[0+0−1−1] = 
                            −π. 
                                          2      3 
                            3B-4  Both x and x are increasing functions on 0 ≤ x ≤ b, so the upper sum is 
                            the right sum and the lower sum is the left sum.  The difference between the right 
                            and left Riemann sums is 
                              (b/n)[f(x +··· + f(x )] − (b/n)[f(x +··· + f(x     )] = (b/n)[f(x ) − f(x )]
                                       1           n              0           n−1              n       0
                            In both cases xn = b and x0 = 0, so the formula is 
                                                           (b/n)(f(b) − f(0)) 
                                           2         3
                                  a) (b/n)(b − 0) = b /n. Yes, this tends to zero as n → ∞. 
                                           3         4
                                  b) (b/n)(b − 0) = b /n. Yes, this tends to zero as n → ∞. 
                            3B-5  The expression is the right Riemann sum for the integral 
                                             � 1                           1 
                                                sin(bx)dx = −(1/b)cos(bx)| = (1 − cos b)/b 
                                              0                            0
                            so this is the limit. 
                                             3C. Fundamental theorem of calculus 
                                                                   4 
The words contained in this file might help you see if this file matches what you are looking for:

...Solutions to exercises unit integration a dierentials indenite xdx d sin because is constant dx b x c e cos y dy implies method slow way substitute u du therefore guess and check it s often faster the form of antideriv ative work out factor afterwards so multiply by make derivative come right answer then copyright david jerison mit use substitution getting previous dierentiating next four questions you should try do in your head write down correct solution front f ex g h i ln for comparison let see how much slower j k this sort algebraic trick will be explained detail as part general what underlies algebra both algorithm long division polynomials l udu m coming from or two functions are not same nevertheless answers given why csc tan sec...

no reviews yet
Please Login to review.