jagomart
digital resources
picture1_Calculus Pdf 169582 | 14 Item Download 2023-01-25 23-18-02


 151x       Filetype PDF       File size 2.61 MB       Source: ocw.mit.edu


File: Calculus Pdf 169582 | 14 Item Download 2023-01-25 23-18-02
contents chapter 14 multiple integrals 14 1 double integrals 14 2 changing to better coordinates 14 3 triple integrals 14 4 cylindrical and spherical coordinates chapter 15 vector calculus 15 ...

icon picture PDF Filetype PDF | Posted on 25 Jan 2023 | 2 years ago
Partial capture of text on file.
                                                                Contents 
                           CHAPTER  14           Multiple Integrals 
                                     14.1   Double Integrals 
                                     14.2   Changing to Better Coordinates 
                                     14.3  Triple Integrals 
                                     14.4  Cylindrical and Spherical Coordinates 
                           CHAPTER  15           Vector Calculus 
                                     15.1   Vector Fields 
                                     15.2   Line Integrals 
                                     15.3  Green's Theorem 
                                     15.4  Surface Integrals 
                                     15.5  The Divergence Theorem 
                                     15.6  Stokes' Theorem and the Curl of  F 
                            CHAPTER 16           Mathematics after Calculus 
                                     16.1   Linear Algebra 
                                     16.2   Differential Equations 
                                     16.3  Discrete Mathematics 
                                            Study Guide For Chapter 1 
                                            Answers to Odd­Numbered Problems 
                                            Index 
                                            Table of  Integrals 
                                                                  CHAPTER 14 
                                                         Multiple Integrals 
                                                               14.1  Double Integrals                   4 
                                   This chapter shows how to integrate functions of  two or more variables. First, a 
                                   double integral is defined as the limit of  sums. Second, we  find a fast way to compute 
                                   it. The key idea is to replace a double integral by  two ordinary "single"  integrals. 
                                      The double integral Sf f(x, y)dy dx starts with 1f(x, y)dy. For each fixed x we  integ­ 
                                   rate with respect to y. The answer depends on x. Now integrate again, this time with 
                                   respect to x. The limits of integration need care and attention! Frequently those limits 
                                   on y and x are the hardest part. 
                                      Why bother with sums and limits in the first place? Two reasons. There has to be 
                                   a definition and a computation to fall back on, when the single integrals are difficult 
                                   or impossible. And also­this      we emphasize­multiple      integrals represent more than 
                                   area and volume. Those words and the pictures that go with them are the easiest to 
                                   understand. You can almost see the volume as a "sum  of slices" or a "double sum of 
                                   thin sticks." The true applications are mostly to other things, but the central idea is 
                                                      Add  up  small pieces and take limits. 
                                   always the same: 
                                      We begin with the area of  R and the volume of          by  double integrals. 
                                                                        A LIMIT  OF  SUMS 
                                   The graph of  z =f(x, y) is a curved surface above the xy plane. At the point (x, y) in 
                                   the plane, the height of  the surface is z.  (The surface is above the xy plane only when 
                                   z is positive. Volumes below the plane come with minus signs, like areas below the 
                                   x axis.) We begin by choosing a positive function­for        example z = 1+ x2 + y2. 
                                      The base of  our solid is a region R in the xy plane. That region will be chopped 
                                   into small rectangles (sides Ax  and Ay).  When  R  itself  is the rectangle 0d x < 1, 
                                   0< y < 2, the small pieces fit perfectly. For a triangle or a circle, the rectangles miss 
                                   part  of  R.  But  they  do fit in  the limit, and any region  with  a piecewise smooth 
                                   boundary will be acceptable. 
                                   Question  What is the volume above R and below the graph of  z =Ax, y)? 
                                   Answer      It is a double integral­the   integral of  f(x, y) over R. To reach it we  begin 
                                   with a sum, as suggested by  Figure 14.1. 
                                                                14  Multiple Integrals 
                                                                                       area AA 
                                    Fig. 14.1  Base R cut into small pieces AA. Solid V cut into thin sticks AV  = z A A. 
                                  For single integrals, the interval  [a, b]  is divided into short pieces of  length Ax. 
                                For double integrals, R is divided into small rectangles of area AA  = (Ax)(Ay). Above 
                               the ith rectangle is a "thin  stick"  with small volume. That volume is the base area 
                               AA  times the height above it­except    that this height z =f(x, y) varies from point to 
                               point. Therefore we select a point (xi, y,) in the ith rectangle, and compute the volume 
                               from the height above that point: 
                                      volume of  one stick =f(xi, yi)AA     volume  of  all sticks = 1f(xi, yi)AA. 
                               This is the crucial step for any integral­to   see it as a sum of  small pieces. 
                                  Now take limits: Ax ­+ 0 and Ay  ­+ 0. The height z =f(x, y) is nearly constant over 
                               each rectangle. (We assume that f is a continuous function.) The sum approaches a 
                               limit, which depends only on the base R and the surface above it. The limit is the 
                               volume of the solid, and it is the double integral of f(x, y) over R: 
                                                              f(x, y) dA = lim  1f(xi, yi)AA. 
                                                         J JR             Ax ­t 0 
                                                                          Ay+O 
                               To repeat: The limit is the same for all choices of the rectangles and the points (xi, yi). 
                               The rectangles will not fit exactly into R, if  that base area is curved. The heights are 
                               not exact, if  the surface z =f(x, y) is also curved. But the errors on the sides and top, 
                                where the pieces don't fit and the heights are wrong, approach zero. Those errors are 
                                the volume of the "icing"  around the solid, which gets thinner as Ax ­+ 0 and Ay  ­+ 0. 
                                A careful proof takes more space than we are willing to give. But the properties of 
                                the integral need and deserve attention: 
                                                jj(f + g)dA = jj f d~ + jjg dA 
                                  1. Linearity: 
                                  2.  Constant comes outside: jj cf(x,  y)dA = c jj f(x, y)dA 
                                  3. R splits into S and T(not overlapping): ]jf d~ = jj fd~+ jj f d~. 
                                                                               R         S         T 
                               In 1 the volume under f + g has two parts. The "thin  sticks" of height f + g split into 
                               thin sticks under f and under g. In 2 the whole volume is stretched upward by c. In 
                               3 the volumes are side by  side. As  with  single integrals,  these  properties  help in 
                               computations. 
                                  By  writing dA, we  allow shapes other than rectangles. Polar coordinates have an 
                                extra factor r in dA = r dr do. By  writing dx dy, we  choose rectangular  coordinates 
                                and prepare for the splitting that comes now. 
                                                                   14.1  Double Integrals 
                                              SPLITTING  A DOUBLE  INTEGRAL  INTO TWO  SINGLE  INTEGRALS 
                                  The double integral jjf(x, y)dy dx will now be reduced to single integrals in y and 
                                  then x. (Or vice versa. Our first integral could equally well be jf(x, y)dx.) Chapter 8 
                                  described the same idea for solids of revolution. First came the area of a slice, which 
                                  is  a  single integral.  Then came a  second integral  to add up the slices. For solids 
                                  formed by revolving a curve, all slices are circular disks­now    we expect other shapes. 
                                     Figurle 14.2 shows a slice of  area A(x). It cuts through the solid at a fixed value of 
                                  x. The cut starts at y =c on one side of  R, and ends at y =d on the other side. This 
                                  particular example goes from y =0 to y =2 (R is a rectangle). The area of  a slice is 
                                  the y integral of f(x, y). Remember that x is fixed and y goes from  c to d: 
                                            A(x) =area of  slice =    f(x, y)dy  (the answer is a function of  x). 
                                                                   Icd
                                  EXAMPLE I      A=        (1 +x2 +y2)dy= 
                                  This is the reverse of  a partial derivative! The integral of  x2dy, with x constant, is 
                                  x~~.This "partial  integral" is actually called an inner integral. After substituting the 
                                  limits y =2 and y =0 and subtracting, we have the area A(x) =2 +2x2 +:.          Now the 
                                  outer integral adds slices to find the volume j A(x) dx. The answer is a number: 
                                                     rc 
                                                   X 
                                                 Fig.  14.2  A slice of  V at a fixed x has area A(x)= f(x, y)dy. 
                                  To complete this example, check the volume when the x integral comes first: 
                                                                                            y=2    8    8    16 
                                          outer integral =~y~o(~+y2)dy=[~y+~y3] y=O =­+­=­3             3    3 '
                                  The fact that double integrals can be split into single integrals is Fubini's  Theorem. 
                                   I 14A  If f(x, y) is continuous on the rectangle R, then                               I 
The words contained in this file might help you see if this file matches what you are looking for:

...Contents chapter multiple integrals double changing to better coordinates triple cylindrical and spherical vector calculus fields line green s theorem surface the divergence stokes curl of f mathematics after linear algebra differential equations discrete study guide for answers odd numbered problems index table this shows how integrate functions two or more variables first a integral is defined as limit sums second we find fast way compute it key idea replace by ordinary single sf x y dy dx starts with each fixed integ rate respect answer depends on now again time limits integration need care attention frequently those are hardest part why bother in place reasons there has be definition computation fall back when difficult impossible also emphasize represent than area volume words pictures that go them easiest understand you can almost see sum slices thin sticks true applications mostly other things but central add up small pieces take always same begin r graph z curved above xy plane...

no reviews yet
Please Login to review.